Eric Benoît  Laboratoire MIA  Pôle Sciences et Technologie  Université de La Rochelle  Avenue Michel Crépeau  17042 La Rochelle cedex 1	Eric Benoît  Projet COMORE  INRIA  2004 route des lucioles BP 93 FR 06902 Sophia Antipolis

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Sommaire

• Curriculum vitae

• Domaines où mes compétences sont non nulles

  • Analyse non standard

  • Equations différentielles ordinaires

  • Probabilités

  • Automatique et contrôle

  • Dynamique de populations

  • Economie

• Thèmes actuels de recherche

  • Equations différentielles et analyse non standard

  • Perturbations singulières

    • Présentation du domaine

    • Apport personnel

  • Dynamique de populations.

  • Modélisation en économie

  • Réduction de modèles biologiques

• Collaborations

• Groupes, contrats, projets dont je fais partie

• Participation à des colloques et séminaires

• Publications

• Activités d'enseignement et d'encadrement doctoral

• Activités administratives

• Loisirs

Curriculum vitae
 

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Domaines où mes compétences sont non nulles

Analyse non standard :

Initiée par A.Robinson dans les années soixante, puis remodelée par E.Nelson et vantée par G.Reeb, l'analyse non standard est une théorie des infinitésimaux qui permet une pratique du calcul infinitésimal plus proche de l'intuition "naturelle". L'introduction d'un nouveau prédicat, nommé standard permet de distinguer les infiniment grands parmi les nombres entiers naturels. La théorie axiomatique qui gère l'usage de ce nouveau prédicat est une extension conservative de la théorie classique de Zermelo, Fraenkel avec axiome du choix.

Tous les résultats standard prouvés à l'aide de méthodes non standard peuvent être redémontrés à l'aide de méthodes classiques, mais (c'est là mon opinion personnelle) la traduction en classique nuit à l'élégance, à la clarté et au caractère naturel des preuves. De plus, les questions posées et les énoncés des théorèmes dans le langage non standard sont plus riches, plus intuitifs et plus "physiques".

Les applications de l'analyse non standard sont très variées, de l'analyse à l'algèbre. Quant à moi, m'ont intéressé les équations différentielles et les probabilités.

L'immensité du savoir mathématique énoncé dans le formalisme classique de Cauchy-Bolzano-Weierstrass-Cantor-... rend important le coût d'une révolution non standard qu'on pourrait espérer. C'est la raison fondamentale qui fait que cette nouvelle théorie n'obtient pas dans la communauté mathématique la place à laquelle elle pourrait prétendre. Sous la pression des habitudes de cette communauté, je pratique donc assez peu cette théorie dans mes écrits, bien que, dans ma façon de penser, de raisonner, de chercher, de trouver, l'analyse non standard soit omniprésente. Une exception : un article sur le feuilletage des solutions d'une équation différentielle d'ordre 1. Voir ici

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Equations différentielles ordinaires : théorie qualitative, théories asymptotiques, perturbations singulières.

C'est mon domaine de prédilection, et mon principal thème de recherche.

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Probabilités:

A la suite de la publication par E.Nelson de son livre Radically elementary probability, j'ai étudié, avec C.Lobry et B.Candelpergher, les diffusions discrètes. Le problème était de montrer que les probabilités discrètes et l'analyse non standard suffisent pour modéliser les processus de diffusion continus.

Ainsi, l'objet de base, au lieu d'être le mouvement brownien, est la marche aléatoire de Wiener avec un pas infiniment petit (au sens de l'analyse non standard) fixé. Les diffusions discrètes sont construites, à partir de cette marche, par des équations récurrentes analogues au schéma d'Euler pour des équations différentielles. Ces objets peuvent être étudiés à l'aide des méthodes exposées dans le premier tome du livre de Feller. L'apport de la vision non standard réside ensuite dans la notion de processus infiniment proches. Les propriétés macroscopiques sont celles qui sont compatibles avec cette relation d'équivalence. Un peu de théorie de la mesure non standard (élémentaire : voir article) est ici nécessaire pour définir des expressions comme presque sûrement. Une diffusion, au sens classique du terme, est une limite (quand le pas de la marche de Wiener tend vers zéro), alors que, dans notre présentation, c'est une classe d'équivalence de processus discrets infiniment proches.

Cette présentation permet de retrouver les théorèmes classiques tels le calcul de Itô et les calculs de densité du théorème de Girsanov. Tout ce travail n'a pas besoin de la théorie de la mesure et des probabilités continues. Il est fait [ici] et [là].

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Automatique et contrôle :

Pendant mon séjour à l'Ecole des Mines (1985 à 1993), j'ai travaillé en collaboration avec des automaticiens. La rencontre des théories de l'automatique et de mon intérêt pour les équations différentielles m'a évidemment conduit à la théorie du contrôle. Bien que je n'aie pas produit de résultat nouveau dans ce domaine, je crois avoir acquis une certaine compétence dans les questions de commandabilité, stabilisation, etc. de systèmes. Ces connaissances me sont très utiles pour la modélisation en économie.

Récemment (en 2006), une collaboration semble se mettre en place avec M. Fliess sur un programme de recherches concernant l'application des techniques non standard de moyennisation au traitement du signal.

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Modélisation en dynamique des populations :

C'est un domaine idéal pour appliquer la théorie qualitative des équations différentielles. Je suis membre du COREV (GdR du CNRS)  En collaboration avec les chercheurs de cette communauté, j'ai travaillé sur quelques modèles de dynamique de population: avec P. Auger, nous avons écrit un article sur l'agrégation des variables dans un modèle de dynamique de populations. J'ai aidé D. Leguerrier, C. Bacher et N. Niquil pour l'élaboration d'un modèle mathématique utilisant les chaînes de Markov dans des réseaux de compartiments . Un article a été écrit, et D. Leguerrier a soutenu sa thèse sur ce sujet. Avec M.J.Rochet (IFREMER, Nantes), nous avons élaboré un modèle de dynamique pour les populations de poissons océaniques. Ce modèle conduit à une équation d'évolution, avec un opérateur contenant des dérivations et des convolutions. Quelques résultats théoriques et des simulations ont été obtenus. Ce modèle est maintenant adapté à la dynamique du zooplancton, avec mon étudiant Jonathan Rault. De plus, il est source de problèmes mathématiques intéressants. De plus amples explications sont données   ici.

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Modélisation en économie :

L'économie mathématique fourmille de problèmes de modélisation utilisant des principes d'optimisation. Mes connaissances en théorie du contrôle et mon intérêt pour la modélisation m'ont fait adopter ce domaine pour ma recherche. Ce domaine est appelé à se développer: je participe à un groupe, pour l'instant informel, de mathématiciens, d'économistes et de biologistes semble devoir se mettre en place sous l'égide du CNRS sur le thème Méthodes mathématiques pour la gestion durable des ressources naturelles et de la biodiversité.

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Thèmes actuels de recherche

Équations différentielles ordinaires d'ordre 1 et analyse non standard

Dans un travail avec R. Bebbouchi (université d'Oran), nous avons étudié un problème évoqué par G. Reeb : soit une équation différentielle y'=f(x,y) où x et y sont des variables réelles. Peut-on décrire l'ensemble des solutions de cette équation à l'aide d'une famille croissante à un paramètre de fonctions. Pour s'affranchir d'une difficulté étrangère au fond du problème, on suppose que toutes les solutions de l'équation sont définies sur R tout entier. Dans le cas d'équations satisfaisant la condition d'unicité des solutions du problème de Cauchy, la réponse est immédiate : on paramètre l'ensemble des solutions par la condition initiale. Dans le cas où les défauts d'unicité sont abondants, le problème est moins évident. La méthode que nous utilisons est typiquement non standard : on remplace l'équation différentielle par une équation aux différences, bien adaptée à nos besoins (préservant par exemple certaines propriétés de monotonie). Pour cette équation aux différences, la résolution est relativement simple, et des arguments de standardisation assez subtils permettent de conclure. Ce travail m'a obligé à mettre au net quelques définitions et propriétés sur les espaces topologiques munis d'une relation d'ordre partiel. Les définitions et résultats n'ont rien de non standard, mais malgré cela, ils ne figurent pas dans les ouvrages classiques.

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Perturbations singulières d'équations différentielles ordinaires

Présentation du domaine

Une équation différentielle ordinaire singulièrement perturbée s'écrit plutôt comme un système :

x' = f( x, y, ε )

ε y' = g( x, y, ε )

où x est une variable réelle de dimension p et y est réelle de dimension q. Quant à ε, c'est un paramètre réel positif. Le problème est l'étude du comportement limite du feuilletage des trajectoires du champ de vecteurs quand ε tend vers 0. Le même problème se pose aussi en complexe avec f et g analytiques pour x, y dans des domaines raisonnables, et ε dans un voisinage sectoriel de l'origine contenant l'axe réel positif. On peut aussi envisager des familles à paramètres, pour déployer les singularités.

La variété d'équation g(x,y,0)=0 est appelée variété lente. Elle joue un grand rôle car, pour ε =0, c'est la surface où vivent les trajectoires. Si on fait un changement de temps (multiplication par ε), cette surface est le lieu des points stationnaires.

On classe habituellement les différents travaux faits dans ce domaine selon les outils utilisés. Cette classification est bien sûr un peu arbitraire, car les différents outils se combinent parfois.

Un premier type de méthodes (pièges à trajectoires, théorie qualitative des champs de vecteurs du plan, théorème du point fixe de Brouwer, changements de variables, même dépendant de ε) que j'appellerai qualitatives réelles a été utilisé par Tikhonov et ses successeurs. On a ainsi pu étudier des comportements globaux, en l'absence de singularités. Avec, en supplément, l'analyse non standard, des cas avec singularités ont été étudiés, mais en petite dimension : ce sont les canards de l'école de Strasbourg, voir par exemple [Chasse au canard], où on étudie une famille à un paramètre a d'équations de Van der Pol

x' = a - y

ε y' = x - ( y³/3 - y )

J'ai utilisé des méthodes de ce type pour obtenir des résultats en dimension plus grande (p=2,q=1) : voir mes travaux.

Dans le cadre complexe, des méthodes un peu similaires ont été inventées par J.L.Callot à qui on doit la notion de relief. L'astuce consiste à étudier les solutions pour des x décrivant un chemin dans le plan complexe. La méthode permet aussi de répondre à des questions réelles qu'elle éclaire d'un jour nouveau.
 

Un deuxième type de méthodes géométriques réelles consiste à étudier les variétés invariantes stables, instables et surtout centrales pour le système ( x'=f, y'=εg, ε'=0 ). Elles ont été utilisées par Dumortier, Roussarie, Fenichel, Brunovski, Jones, etc... Elles donnent des résultats quand il n'y a pas de singularités trop compliquées. Pour étudier ces dernières, on peut faire des éclatements (travaux de Dumortier, Roussarie, Panazzolo, et de Szmolyan et all.). C'est ainsi que M.Wechselberger a démontré le même théorème que [ppsn] pour les points pseudo singuliers noeuds.
 

Un dernier type de méthodes (peut-être les plus anciennes, déjà bien exploitées par Poincaré) consiste à étudier les développements asymptotiques des solutions. Dans les différentes zones, ces développements asymptotiques ne sont pas de la même espèce. Le problème principal est alors de recoller les morceaux. Ces études sont, en général, purement réelles (Wasow, Vasil'eva, O'Malley,...). Le problème qui m'intéresse plus particulièrement est celui des points tournants (Matkowsky, Kopell,...) qui correspond aux singularités à canards. L'article [Un développement asymptotique combiné en perturbation singulière] est une contribution affinant ces méthodes. Les travaux de mon ancien doctorant T. Forget sont aussi une prolongation de ces méthodes asymptotiques.

La théorie de Kruskal enrichit ces méthodes et fait le pont avec les méthodes complexes.
 

Enfin, on a les méthodes de sommation de séries divergentes. Elles remontent aussi à Poincaré, et leurs progrès considérables en font un outil de choix, même pour des systèmes réels. Le principe de base consiste à chercher des solutions formelles, à montrer qu'elles sont divergentes de type Gevrey (Voir les travaux de M.Canalis-Durand), puis à "sommer" ces séries (voir Ramis, Malgrange, Sibuya, Schäfke, ...) pour obtenir de vraies solutions. L'article [Canards en un point pseudo singulier noeud] utilise ces méthodes sur mon problème favori.

La théorie des fonctions résurgentes de J.Ecalle est aussi à mentionner ici.

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Apport personnel dans le domaine

• L'article [Chasse au canard] est l'article fondateur des canards de l'école non standard de Strasbourg.

• Dans [Solutions surstables des équations différentielles lentes-rapides à point tournant], nous étudions les équations

ε y' = f( x, y, a, ε ),

avec x et y complexes de dimension 1 et a complexe de dimension p; le complexe ε est dans un voisinage sectoriel V de l'origine contenant l'axe réel positif. Nous centrons l'étude autour d'un point (x₀ , y₀ , a₀ , 0) où f et sa dérivée partielle par rapport à y s'annulent. Nous supposons qu'il existe une courbe régulière y=η(x) telle que f(x, η(x), a₀ ,0)=0. Nous supposons aussi que p est l'ordre du zéro de la dérivée partielle de f par rapport à y au point (x₀, η(x₀), a₀ ,0). Nous cherchons alors des solutions voisines de η quand ε tend vers zéro. De telles solutions sont dites sages dans les cas où p=0, surstables dans le cas qui nous intéresse où p est différent de 0.

Les principaux outils évitent les méthodes de resommation de séries divergentes. Ce sont l'étude du relief, et des estimations asymptotiques d'intégrales, obtenues par une variante de la méthode du col.

Nous montrons alors que l'existence de solutions surstables longeant la courbe lente y=η(x) est un phénomène de codimension p. En d'autres termes, il existe des valeurs du paramètre a pour lesquelles il existe des solutions surstables. On a aussi unicité à exponentiellement petit près. Nous étudions précisément les domaines de définition de ces solutions surstables et déterminons un domaine très naturel (donné par le relief). Nous conjecturons que ce domaine est le plus grand domaine sur lequel on puisse trouver une solution surstable.

Ce travail est à comparer à celui de Canalis-Durand, Fruchard, Ramis, Schäfke sur la même équation. Les méthodes de ces auteurs sont issues de la théorie de la resommation des séries Gevrey par des méthodes de Borel-Laplace. Comme elles sont assez différentes des nôtres, les résultats sont comparables mais non identiques. En particulier, nous avons beaucoup plus d'informations sur les domaines de définition des solutions surstables.

• Dans [Un développement asymptotique combiné en perturbation singulière], le problème est entièrement réel, de même que les méthodes utilisées. Les méthodes de calcul non standard sont exploitées pour simplifier les énoncés et les preuves.

La première partie de l'article concerne une théorie des développements asymptotiques combinés qui, formellement, sont des sommes de deux développements l'un intérieur, l'autre extérieur. Cet objet a été abondamment utilisé dans la littérature, mais le problème du matching a fait couler beaucoup d'encre. Nous présentons d'abord une théorie algébrique des développements asymptotiques combinés, puis nous montrons le théorème de base disant que la solution d'un problème aux limites avec une équation différentielle singulièrement perturbée admet un développement asymptotique combiné. Ces résultats ne sont pas nouveaux (voir par exemple les travaux de Butuzov et Vasil'eva), mais la théorie algébrique dont nous ne connaissons pas d'exposé structuré sert dans la suite de l'article.

Dans la deuxième partie, on utilise cette théorie pour étudier plus finement les termes exponentiellement petits qui apparaissent inéluctablement dans les perturbations singulières. Nous étudions par exemple la dépendance de la solution par rapport à la condition initiale. Bien que la différence de deux solutions soit exponentiellement petite, on peut la calculer (ou plutôt en calculer un développement asymptotique) à l'aide des développements asymptotiques combinés étudiés dans la première partie. Finalement, les développements obtenus ressemblent au début de certains développements transasymptotiques.

Dans une troisième partie, on applique encore les mêmes méthodes pour l'étude des points tournants, avec comme illustration la levée de dégénérescence du premier niveau d'énergie dans une équation de Schrödinger stationnaire unidimensionnelle avec pour potentiel un double puits symétrique.Le travail s'accompagne d'une bibliothèque de programmes de calculs maple sur les développements asymptotiques combinés, disponible sur le web.

• Dans [Canards de R³], dans [Systèmes lents-rapides dans R³ et leurs canards] et dans [Canards et enlacements], j'ai tenté une étude complète des systèmes génériques 

On constate rapidement que seuls les points pseudo singuliers (définis par trois conditions sur f, g, h et leurs dérivées partielles) posent de véritables problèmes pour l'étude du comportement limite.

Par des méthodes de géométrie réelle, j'ai résolu les difficultés (existence de canards, développement asymptotique des canards) pour les points pseudo singuliers de type col (voir [Canards de R³] ou [Systèmes lents-rapides dans R³ et leurs canards]).

Toujours par les mêmes méthodes, j'ai étudié dans [Canards et enlacements], un cas très particulier de point pseudo singulier noeud. J'ai montré l'apparition d'un phénomène de résonance jusque là inconnu, lié à l'enlacement des différentes trajectoires. Malheureusement, le problème de l'existence des canards dans le cas général des points pseudo singuliers noeuds n'a pas pu être résolu par ces méthodes.

• Dans [Canards en un point pseudo singulier noeud], j'ai repris le même problème que ci-dessus, mais en utilisant des méthodes différentes : je démontre qu'il existe des solutions formelles Gevrey, puis par sommation, je trouve des vraies solutions canards. Ce résultat a été aussi démontré par M.Wechselberger en 1999 par des méthodes de variétés invariantes et d'éclatements, cependant, la méthode que j'utilise donne quelques propriétés supplémentaires des canards trouvés. 

Ce travail permettra de récupérer le travail sur les enlacements de canards et la résonance dans le cas général des points pseudo singuliers noeuds. En 2003, M. Wechselberger a pu retrouver certaines propriétés liées aux enlacements, par des méthodes géométriques : éclatements, variétés centrales, calcul de Melnikov. .

• J'ai entamé, en collaboration avec A. Fruchard et M. Wechselberger, l'étude des formes normales de champs de vecteurs lents-rapides. Nous avons établi un protocole de calcul pour essayer de déterminer ces formes normales. Nous avons exécuté ce protocole dans le cas d'un point pli pour un système lent-rapide du plan. Nous avons alors déterminé une forme prénormale, et nous conjecturons que c'est une forme normale.

Pour l'instant, il ne semble malheureusement pas raisonnable de tenter ce protocole pour des points plus compliqués comme les points pseudo-singuliers de dimension 3.

• La thèse de Thomas Forget (sous ma direction) est un travail sur les points tournants dégénérés: si on prend la même équation que dans l'article Solutions surstables ..., mais en considérant le problème réel correspondant, un seul paramètre suffit pour assurer la présence de canards. Pourtant ceux-ci n'étant pas surstables, il s'agit d'une fonction réelle dont le prolongement complexe admet des singularités dans le voisinage de l'origine. Nous avons entrepris l'étude de ces solutions, en particulier de leurs développements asymptotiques. Pour cela, nous avons mis en place une machinerie très générale de développements asymptotiques, en choisissant des échelles adaptées à notre problème. Chaque élément de l'échelle est une fonction non seulement du petit paramètre, mais aussi de la variable indépendante t. Cette procédure a permis de définir un nouveau type de développements asymptotiques, dont les développements combinés sont un cas particulier. Le procédé est constructif et permet de calculer effectivement de bonnes approximations des solutions canards dégénérées. Thomas Forget a soutenu sa thèse sur le sujet en mars 2007.

• Le long d'une nappe attractive, la variété invariante (dite de Fenichel) est approchée par la surface lente. On peut faire une meilleure approximation en utilisant d'autres méthodes : ceci a été fait par Maas and Pope , Rouchon ou d'autres mathématiciens très appliqués qui ont défini la variété ILDM. Cette méthode a l'avantage d'être utilisable même pour des systèmes où le petit paramètre n'est pas écrit explicitement. J'ai écrit quelques [Notes sur les techniques d’étude des champs lents-rapides] pour comparer toutes ces approximations de la variété de Fenichel.

• Le retard à la bifurcation a été étudié par Shishkova, Neishtadt, puis par l'école non standard avec d'autres méthodes pour la traversée d'une bifurcation de Hopf. En particulier, ces méthodes permettent de mesurer exactement le retard à la bifurcation. Je me suis intéressé au cas plus compliqué où la bifurcation de Hopf est suivie d'une bifurcation foyer/noeud. Ce cas n'est pour l'instant pas encore complètement élucidé, seul un cas particulier a été compris, où j'ai pu montrer que le retard persiste au delà de la transition foyer-noeud voir [Bifurcation delay - the case of the sequence : stable focus - unstable focus - unstable node].

• J'ai aussi, avec O. Cherikh et K. Tchizawa, commencé l'étude des singularités génériques des systèmes de R²⁺² ayant deux variables lentes et deux variables rapides. Parmi les points considérés, il y a les points pseudo singuliers, très analogues aux points pseudo singuliers de R³. On peut espérer récupérer les résultats de la dimension 3. Il y a aussi une ligne (dite de Hopf) le long de laquelle a lieu le classique retard à la bifurcation. Il faut donc généraliser les résultats classiques de mesure du retard à une famille à un paramètre. Il y a aussi des points où ont lieu simultanément la bifurcation pli et la bifurcation de Hopf. Dans toutes ces situations, il s'agit de savoir si l'existence de canards du système réduit implique l'existence de canards du vrai système. Le travail est en cours et se concrétisera prochainement par un article.

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Modélisation en dynamique des populations :

Il s'agit d'un programme interdisciplinaire de recherche "Environnement, Vie et Sociétés" (programme thématique "Méthodes Modèles et Théories"). Le thème de ce programme est "La pente de la structure en taille multispécifique : un indicateur de l'effet de la pêche sur les peuplements de poissons exploités".

L'une des parties de ce programme (celle qui me concerne) consiste à développer un modèle synthétique pour expliquer la linéarité et calculer la pente du spectre de taille (fonction qui à chaque classe de tailles associe le nombre d'individus, le tout tracé dans une échelle log-log). Le modèle de Silvert et Platt fournit une équation aux dérivées partielles linéaire hyperbolique. Les caractéristiques décrivent la dynamique d'une cohorte. Si les données (croissance, mortalité naturelle, pêche) sont allométriques avec des coefficients convenables, et si le recrutement (condition au bord de l'équation aux dérivées partielles) est constant, alors la solution stationnaire est allométrique et le spectre de taille est linéaire. Si la mortalité par pêche est non allométrique (ce qui est bien plus réaliste), le spectre de taille devient concave. Or les observations ne montrent pas de concavité notable qui correspondrait à la forte exploitation par la pêche. La raison de cela peut être vue dans le fait que la pression de la pêche s'exerçant sur les gros poissons diminue la pression de prédation sur les petits. On est donc naturellement amené à faire intervenir un modèle de prédation. Si on considère qu'un poisson de taille w ne mange que des poissons de taille qw (avec q donné strictement inférieur à 1), le modèle résultant pour la solution stationnaire est une équation aux q-différences. On peut aussi, ce qui est plus réaliste, répartir la prédation d'un poisson sur les poissons de taille inférieure avec une fonction de répartition en cloche. Mathématiquement, le retard est distribué, et se présente sous la forme d'un produit de convolution. Nous avons établi un modèle prenant raisonnablement en cause ces phénomènes de prédation et suffisamment simple pour pouvoir être utilisable. Un article a été publié en collaboration avec Marie-Joëlle Rochet. Cet article contient (pour sa partie mathématique) la modélisation, quelques résultats théoriques sur le modèle et des simulations numériques.

J'ai repris l'étude d'équations fonctionnelles d'évolution généralisant la structure du modèle ci-dessus. Cette structure est voisine de celle de l'équation de Burgers, mais l'opérateur différentiel est non local : il contient des produits de convolution. J'ai réussi à prouver un théorème d'existence et d'unicité locale pour ce type d'équations : voir Equation fonctionnelle: Transport et convolution.

Le travail de modélisation a été étendu à des populations plus complexes comportant des poissons, des céphalopodes et des détritus dans l'article How does abundance scale with body size in coupled size-structured food webs.

En septembre 2008, M.J. Rochet et moi-même avons repris le modèle pour étudier l'influence de la pêche sur la capture totale et sur la biodiversité. Des simulations semblent montrer des états périodiques dès que la pêche est suffisamment importante. Le travail est en cours. Il s'agit de montrer la présence d'une bifurcation de Hopf lorsque l'effort de pêche dépasse un certain seuil. Des simulations l'attestent, et l'étude d'un modèle considérablement simplifié l'explique. Des articles sont en cours d'élaboration.

Ce type de modèle peut aussi être mis en oeuvre pour expliquer la dynamique du zooplancton. En collaboration avec Lars Stemmann (laboratoire d'Océanologie de Villefranche sur Mer), nous exploitons cette idée. Nous voudrions identifier des paramètres du modèle à l'aide des données (très longues séries fiables obtenues à Villefranche). Le but est alors de comprendre les relations entre dynamique du phytoplancton et dynamique du zooplancton, afin d'insérer cela dans un modèle général d'évolution de la biomasse dans les océans.

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Modélisation en économie :

C'est un travail que j'ai fait en collaboration avec L. Augier, maître de conférences en économie à l'université de la Rochelle, et Emmanuelle Augeraud-Veron, qui a soutenu sa thèse en décembre 2000 sur ce sujet.

L'étude porte sur des modèles à générations imbriquées, assez classiques en économie. Il s'agit de modèles avec un consommateur, un producteur, régis par plusieurs optimisations. La problématique de l'anticipation parfaite embrouille souvent la dynamique de ces modèles. Le but du travail est de gérer correctement le problème de l'anticipation, avec les outils validés de la théorie du contrôle. L'une des hypothèses souvent faite par les économistes est celle de l'anticipation parfaite . Elle permet effectivement de rendre le modèle économique utilisable comme un système dynamique, mais elle a beaucoup de défauts: l'indétermination (au sens des économistes) n'en est que le symptôme le plus visible, le défaut est plus profond et réside dans la logique même des modèles. Le travail porte sur les différentes méthodes permettant de justifier, d'infirmer, ou de contourner cette hypothèse d'anticipation parfaite dans les modèles considérés.

Les remèdes étudiés sont de type très variés: une modification complète du modèle (par l'introduction d'un planificateur, ou par l'introduction d'une taxe); un passage à la limite pour des modèles où l'anticipation n'intervient que faiblement; la donnée d'une règle non-anticipative pour fixer cette anticipation; les méthodes d'apprentissage de l'automatique; etc...

L'université de la Rochelle, de part sa position géographique, s'intéresse au littoral, et à ce titre, un groupe d'économistes et de mathématiciens a décidé d'étudier des modèles bio-économiques de l'élevage des huitres du bassin de Marennes-Oléron. Nous sommes actuellement en contact avec les professionnels du secteur et les instituts d'étude du milieu marin (IFREMER, CREMA).

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Réduction de modèles biologiques :

Il est un problème que tous les scientifiques rencontrent un jour où l’autre : pour décrire un phénomène (biologique en ce qui nous concerne) de façon pas trop simpliste, il apparaît en général un grand nombre de variables, paramètres ou inconnues. Le système d’équations qui modélise le problème est alors de grande dimension, et sa complexité implique deux difficultés majeures : la première est l’incapacité des mathématiciens à en déduire des propriétés qualitatives pertinentes, la deuxième est l’incapacité des biologistes à interpréter des résultats et à valider le modèle.

Il est donc fort utile et même souvent indispensable de remplacer ce « gros » modèle par un modèle plus raisonnable. Il est illusoire de croire qu’une méthode universelle puisse faire cette opération, car il faut prendre en compte la nature même du phénomène biologique. Je citerai deux méthodes qui me semblent intéressantes : l’agrégation de variables qui consiste à remplacer un groupe de variables par leur somme, et à considérer deux dynamiques presque découplées, l’une à l’intérieur du groupe, l’autre, à l’extérieur, ne faisant intervenir que la somme des variables du groupe. Cette description pêche par excès de généralité, et il faut considérer des exemples précis pour comprendre en quoi on simplifie ou non le problème. De nature assez semblable est l’usage des perturbations singulières, qui classe les différents mécanismes du modèle en plusieurs catégories selon le temps caractéristique de réaction. On considère d’abord les réactions rapides, et on étudie leur comportement après un temps long pour la variable rapide, court pour les variables lentes. On étudie ensuite l’évolution en temps lent de ce comportement… Cet outil est à manipuler avec précaution, d’une part à cause des pièges mathématiques, d’autre part à cause de la différence importante qu’il faut avoir entre les échelles de temps.

Avec Jean-Luc Gouzé, nous élaborons un algorithme permettant, à l'aide d'un ordinateur, de tenir compte des ordres de grandeur des paramètres et des inconnues pour simplifier un gros système chimique. Le principe consiste à décomposer l'espace d'états en boîtes, et à écrire le système comme un champ lent-rapide dans chacune des boîtes. Un article est publié dans les actes de la conférence POSTA09.

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Collaborations

• En premier lieu, je dois mentionner mes interlocuteurs quotidiens de l'Université de La Rochelle : G.Wallet, N. Sari, A.El Hamidi, M. Kirane, E. Augeraud et les autres membres du laboratoire de mathématiques de la Rochelle.

• Ensuite, sans nommer chacun individuellement, les groupes des mathématiciens français travaillant sur les théories asymptotiques complexes : A. Fruchard (Mulhouse), C. Zhang (Lille), J.P.Ramis (Toulouse), R.Schäfke (Strasbourg), M.Canalis-Durand (Aix-Marseille), etc...

• Je rencontre assez souvent les asymptoticiens disons classiques, en particulier ceux de l'école russe (Vasil'eva, Rozov, Sobolev, ...) auquel j'adjoindrai ici K. Schneider ainsi que B.O'Malley, J. Grasman, P. Szmolyan.

• Martin Wechselberger (Autriche) a bénéficié d'une bourse post-doctorale d'un mois pour venir travailler à La Rochelle en juin 2000 sur le problème des points pseudo-singuliers noeuds. Nous avons démarré un travail sur les formes normales de champs de vecteurs lents-rapides.

• Peter de Maesschalck (Diepenbeck, Belgique) est venu quelques jours à La Rochelle en janvier 2005. Nous avons travaillé sur le problème des points tournants dégénérés pour confronter nos approches très différentes, ce qui a beaucoup enrichi notre vision du problème.

• Dans le domaine de l'analyse non standard, je peux citer le groupe des mathématiciens se réclamant de G.Reeb : F.Diener (Nice), M.Diener (Nice), E.Isambert (Paris), J.Harthong (Strasbourg, malheureusement décédé), etc... et aussi des étrangers : I.van den Berg (Pays-Bas), N.Cutland (Grande-Bretagne), W.Henson (USA), P.Loeb (USA), L.Arkeryd (Suède), etc...sans oublier E.Nelson (USA) le père de théories (Internal Set Theory et Radically elementary Probability) qui structurent mon intuition et mon raisonnement.

• Dans mon domaine précis de recherche, je dois signaler ma collaboration avec K.Tchizawa (Japon) qui m'a invité deux fois pour que nous travaillions, lui, moi et d'autres collègues japonais, au problème des points pseudo-singuliers. Cette collaboration se poursuit régulièrement. Nous avons organisé en mars 2005 une rencontre franco-japonaise à la Rochelle.

• Ma participation à l'ANR Analyse Non Linéaire et Applications aux Rythmes Complexes du Vivant est une collaboration avec Jean Pierre Fran&ccefil;oise (université Paris VI), Alexandre Vidal (en post-doc à Bruxelles), Frédérique Clément (INRIA Rocquencourt) etc... Le problème qui m'intéresse plus particulièrement est celui des oscillations en salves, qui ressemblent aux oscillations de relaxation mais dont nous espérons mieux comprendre le mécanisme.

• Le laboratoire de mathématiques de l'université de la Rochelle a une collaboration institutionnelle avec l'Algérie. C'est l'aboutissement d'une collaboration de longue date avec R.Bebbouchi (Alger). L'accord nous permet de recevoir très régulièrement des chercheurs (jeunes ou moins jeunes) pour une durée de une semaine à un mois. Les recherches dans ce cadre sont principalement tournées vers la géométrie réelle des équations différentielles singulièrement perturbées. Cet accord permet aussi l'organisation de semaines de formation pour les doctorants algériens.

• Dans le domaine des mathématiques appliquées à l'économie, je mentionnerai E. Augeraud-Veron (la Rochelle), L.Augier (la Rochelle), M.Canalis-Durand (Aix-Marseille).

• Dans le but de comprendre les mathématiques des équations à retard ou à retard et avance, j'ai rencontré M. Adimy à plusieurs reprises.

• Pendant ma délégation à l'INRIA, c'est bien sûr avec Jean-Luc Gouzé et les autres membres de son projet (F. Grognard, ...) que j'ai travaillé quotidiennement.

• Lars Stemmann est mon interlocuteur principal au laboratoire d'Océanologie de Villefranche sur Mer, avec qui nous collaborons pour la modélisation de la dynamique du plancton.

• Pour les applications à l'écologie, c'est principalement M.J.Rochet (IFREMER, Nantes) avec qui je collabore : elle dirige le projet sur la structure en taille des peuplements de poissons. Récemment, cette collaboration s'est étendue à Julia Blanchard (Norwich, UK) et ses collaborateurs.

• Je participe assez régulièrement aux réunions de tavail du COREV (GdR dont le thème principal est la modélisation des phénomènes biologiques.

• Un nouveau cadre institutionnel du CNRS est en train d'être créé : "Méthodes mathématiques pour la gestion durable des ressources naturelles et de la biodiversité". Je fais partie du noyau initiateur du projet (sous la houlette de Michel Cohen de Lara)

• Pour finir, je tiens à nommer C.Lobry (Nice) qui, bien que je ne le rencontre plus si souvent maintenant, m'a initié à grand nombre d'applications des mathématiques qui m'intéressent aujourd'hui.

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Groupes, projets, contrats

• Avec F. Carlotti (Marseille), J.C. Poggiale (Marseille), L. Stemmann (Villefranche sur Mer), J.L. Gouzé (Sophia Antipolis), nous avons fait en décembre 2008 une demande d'ANR North Western MEditerranean sea Regional-scale Modelling and Observation of Zooplankton (MERMOZ). Le responsable principal est F. Carlotti (université de Marseille).

• Je suis partenaire dans l'ANR Analyse Non Linéaire et Applications aux Rythmes complexes du vivant (ANAR). Le responsable principal est J.P. Françoise (université Paris VI).

• J'ai été partenaire principal d'une action COLOR (durée : l'année 2008) de l'INRIA, ModZoo, dont le thème principal est la modélisation des écosystèmes, avec, comme point de mire le problème de la séquestration du carbone dans l'océan. Le détail de cette action est visible ici

• Je suis membre du réseau M3D (Mathématiques et décision pour le développement durable) depuis sa création. Une description de ce réseau se trouve ici

• J'étais membre du réseau CoReV (Modèles et théorie pour le contrôle de ressources vivantes et la gestion de systèmes écologiques).

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Participation à des colloques et séminaires

Colloques

En italique : le titre des exposés (quand j'en ai fait un)

• 14 au 16 décembre 2009 : La Rochelle : réunion de l'ANR ANAR. Bifurcation de Hopf dans un modèle de pêcheries. .

• 7 et 8 novembre 2009: Nagoya (Japon) : Non standard Analysis. Delayed bifurcation - focus/node transition.

• 11 au 15 mai 2009: CIRM Marseille : Singularities of Planar Vector Fields, Bifurcations and Applications.

• 25 au 30 janvier 2009: Nice : ASLO 2009 Aquatic Sciences Meeting (seul Jonathan Rault a fait le déplacement). Zooplankton size spectra (poster).

• 26 au 28 novembre 2008 : La Rochelle : réunion de l'ANR ANAR Emergence de cycles limites dans des modèles de Biologie Utilisation des ordres de grandeur des variables et des paramètres dans un gros système chimique.

• 17 au 24 octobre 2008 : Alger, Bou Saada : SYD'02 : Deuxième Colloque International en Systèmes Dynamiques. Retard à la bifurcation : le cas foyer attractif/foyer répulsif/noeud répulsif.

• 5 au 7 avril 2008 : Cambridge (UK) : First SIZEMIC Workshop

• 22 au 24 janvier 2007 : Université de Nice : Convergences-Mathématiques Franco-Maghrébines.

• 29 juin au 1 juillet 2006 : Université de Mulhouse, dans le cadre des accords CMEP : Théorie analytique complexe de la perturbation singulière.

• 25 au 31 mai 2006 : Pisa : NSM 2006 : Non standard averaging and signal processing

• 11 mars 2006 : Strasbourg : colloque à la mémoire de J. Harthong.

• 7 au 9 mars 2005 : La Rochelle : Spring Mathematical Seminar : Dynamic population : PDE with a convolution operator.

• 14 au 16 décembre 2004 : Tlemcen (Algérie) : Invitation pour les festivités du trentième anniversaire de l'Université de Tlemncen.

• 27 septembre au 1 octobre 2003 : Alger : Systèmes dynamiques. Champs lents rapides : de R³ à R⁴

• septembre 2003 : Tallinn (Estonie).: International Council for the Exploration of the Sea (seule MJ. Rochet a fait le déplacement).The meaning of fish size spectra, the effects of fishing on them and the usefulness of their slope as indicator of fishing impacts. (nous avons reçu le prix : Best paper award  pour cette communication).

• 10 au 15 juin 2002 : Pisa : congrès international de l'AMS-UMI, session préliminaire d'analyse non standard : High-born families of solutions of a one-dimensional differential equation.

• 27 au 31 mai 2002 : Ile de Berder (Morbihan, France) : Ecole de Printemps du COREV

• 1 au 6 avril 2002 : Cork (Irlande) : Workshop "Relaxation Oscillations and Hysteresis" : membre du comité scientifique ; On combined asymptotic expansions in singular perturbation.

• 30 et 31 mai 2001 : La Londe des Maures : Réunion du COREV

• 6 au 7 novembre 2000 : RIMS (Kyoto, Japon) : Qualitative theory of functional equations and its application to mathematical science: Existence of canards at a pseudo-singular node point.

• 5 novembre 2000 : Keio University (Yokohama, Japon) : Existence of canards at a pseudo-singular node point.

• 2 au 4 novembre 2000 : Fukushima (Japon) : Non Standard Analysis Symposium : On surstable solutions in complex differential equations.

• 9 au 12 mai 2000 : Grignon : Groupement inter-organismes COREV "Modèles et théories pour le contrôle de ressources vivantes et la gestion de systèmes écologiques" : Modèle continu de l'évolution de la répartition par taille de la biomasse dans un écosystème régi par la prédation.

• 16 au 18 mars 2000 : Lille : Journées des équations différentielles et du calcul formel : Sur les développements asymptotiques combinés en perturbation singulière.

• 14 au 16 juin 1999 : Saint-Flour : XIX^ème séminaire de la Société Française de Biologie Théorique : l'Aide à la décision en Biologie.

• 4 juin 1999 : La Rochelle : Journées aux perturbations singulières : Solutions formelles au voisinage d'un point pseudo singulier noeud.

• 29 mars au 2 avril 1999 : Luminy : Fragmentations et retards en dynamique des populations.

• 22 au 26 février 1999 : Oberwolfach : Théorie de la mesure et diffusions dans le cadre hyperfini.

• 12 juin 1998 : Luminy : Solutions formelles au voisinage d'un point pseudo singulier noeud.

• 30 janvier 1998 : Université de Kyoto (Japon) : Singular perturbations of differential equations in the complex domain : construction of complex canards, exponential closeness, consequences for the formal solutions.

• 29 janvier 1998 : Université de Nagoya (Japon) : Singular perturbations of ordinary differential equations in dimension more than two : results and conjectures.

• 27 janvier 1998 (4h) : Université de Keio (Japon) : Introduction to non standard analysis and easy tools in ordinary differential equations, suivi de Singular perturbations of ordinary differential equations : some general results for the planar vector fields, illustrated with the classical van der Pol equation, puis de Singular perturbations of ordinary differential equations in dimension more than two : results and conjectures.

• septembre 1997 : Berlin, WIAS Workshop, Singularly Perturbed Systems and Applications : Overstable solutions : toward a global study.

• mars 1997 : Luminy : Solutions surstables : existence et proximité exponentielle.

• juillet 1995 : ICIAM 95 à Hamburg (Allemagne) : Canards à pôles et équation de Schrödinger.

• juin 1995 : Strasbourg, Colloque à la mémoire de JL. Callot et G. Reeb : Rétrospective sur l'oeuvre de Jean-Louis Callot.

• juillet 1994 : Luminy : Processus stochastiques discrets et théorème de Girsanov.

• février 1994 : Oberwolfach : Canards à pôles et équation de Schrödinger.

• juillet 1992 : Luminy : Théorie de la mesure et Analyse Non Standard.